1. Ud. ya sabe: En este punto se repiten apartados de "... :Ver la Cuadratura del Círculo” y de su “Apéndice a)” que son necesarios para poder entender este “Apéndice b)”.
En una dimensión: Preliminares. Ud. ya sabe que una dimensión se puede representar gráficamente por medio de una línea indefinida. Que puede ser recta, quebrada, curva o mixta (aquí, por claridad, sólo se usan líneas rectas en los gráficos). Y un número se puede representar por medio de un segmento de dicha línea indefinida computado en relación con la unidad de referencia que se usa.
En dos dimensiones: Preliminares. Ud. ya sabe que dos dimensiones se pueden representar gráficamente por medio de una superficie plana indefinida. Y la unidad se puede representar gráficamente por el área de un polígono cuadrilátero (cuadrado, rectángulo, rombo). Una de las formas de representar gráficamente los números, en dos dimensiones, es la de agrupar en línea polígonos cuadrados computados en relación con la unidad de referencia que se usa.
En dos dimensiones al cuadrado: La esencia es el polígono cuadrado. Ud. ya sabe que en dos dimensiones al cuadrado la esencia es el polígono cuadrado. La unidad y los números se elevan al cuadrado y todos se representan gráficamente por el área de un cuadrado (los polígonos cuadrados se agrupan en un cuadrado) computada en relación con la unidad de referencia que se usa.
En dos dimensiones al cuadrado: La suma. Ud. ya sabe que en dos dimensiones al cuadrado para representar gráficamente la suma de dos números (a+b)² = c² = a² + b² + 2ab, los cuadrados que representan a los dos sumandos se colocan perpendicularmente uno respecto del otro. Y sólo queda completar el cuadrado de c², que representa al número que es igual al resultado de la suma, computado en relación con la unidad de referencia que se usa.
Para completar el cuadrado de c² se procede a construir dos cuadrados iguales, cuando a=b, o dos rectángulos iguales, cuando a¹b, apoyándose en sendos lados de los dos cuadrados que representan a los dos sumandos. Los lados de los dos cuadrados o dos rectángulos así formados, forzosamente, han de tener las mismas unidades que los dos números que se suman. Y como se puede ver (la impresión de gráficos sin cuadrados internos es más nítida):
(a + b)² = c² = a² + b² + 2ab
(3 + 3)² = 6² = 3² + 3² + 2.3.3 = 36
(3 + 4)² = 7² = 3² + 4² + 2.3.4 = 49
En dos dimensiones al cuadrado: La resta. Ud. ya sabe que en dos dimensiones al cuadrado para representar gráficamente la resta de dos números (a-b)² = d², cuando a=b ((a-b)² = (3-3)²), los cuadrados que representan al minuendo y al substraendo se superponen totalmente (en cuyo caso d² = 0); o, cuando a¹b ((a-b)² = (7-4)²), se colocan perpendicularmente uno dentro del otro. Y sólo queda completar el cuadrado de d², que representa al número que es igual al resultado de la resta (d² = 3²) computado en relación con la unidad de referencia que se use.
Para completar el cuadrado de d², cuando a¹b, se procede a construir dos rectángulos iguales apoyándose en sendos lados de los cuadrados que representan al minuendo y al substraendo.
Los lados de los dos rectángulos así formados, forzosamente, han de tener las mismas unidades que los dos números que se restan. Cuando a¹b, el cuadrado que representa al substraendo se superpone, en su totalidad, con parte del área de ambos rectángulos (cuando a=b, el cuadrado que representa al substraendo se superpone en su totalidad con la totalidad de ambos cuadrados ab). Y como se puede ver:
(a - b)² = d² = a² + b² - 2ab
(7 - 4)² = 3² = 7² + 4² - 2.7.4 = 9
(3 - 3)² = 0² = 3² + 3² - 2.3.3 = 0
En dos dimensiones: Potencias superiores. Ud. ya sabe que en dos dimensiones el cuadrado es la esencia y sigue siéndolo cualquiera que sea el grado de la potencia a la que se eleva un número.
Los
números que se elevan al cuadrado se representan en dos
dimensiones por medio de un cuadrado. Si la potencia es de un
grado superior, al cubo, una de las formas que hay de representar
los números es la de repetir el cuadrado anterior, a manera de
suma en línea, tantas veces como unidades represente el número
que se eleva al cubo con lo que se consigue formar un cuadrilátero
rectangular.
a3 = 33 = 27
Si la potencia es de un grado superior, de cuarta, una de las formas que hay de representar los números es la repetir el rectángulo de tercera potencia tantas veces como unidades represente el número que se eleva a la cuarta potencia de manera que se consigue formar, otra vez, un cuadrado.
a4 = 34 = 81
Si la potencia es de un grado superior, de quinta, una de las formas que hay de representar los números es la de repetir el cuadrado de cuarta potencia tantas veces como unidades represente el número que se eleva a la quinta potencia de manera que se consigue formar, otra vez, un rectángulo.
a5 = 35 = 243
Áreas equivalentes. Ud. ya sabe que el cuadrado de c², que representa al número resultante, se puede transformar interiormente en otras figuras geométricas con la condición de que tengan un área equivalente, en su conjunto, al cuadrado de c² resultante original.
Una de las formas consiste en trazar una diagonal en cada uno de los dos cuadrados o rectángulos, construidos para completar el cuadrado de c², de manera que se obtengan cuatro triángulos rectángulos iguales.
Los dos cuadrados, cuando a=b, o los dos rectángulos, cuando a¹b, están construidos sobre lados de los dos cuadrados que representan a los dos sumandos. Como consecuencia de lo anterior, se puede proceder a redistribuir los cuatro triángulos rectángulos obtenidos de manera que se respete el cuadrado de c² que representa al número resultante.
Se pueden redistribuir de manera que se forma un cuadrado interior cuya área equivale a la suma de los cuadrados de los dos sumandos (a² + b² = h² = ca² + ca²), (h = hipotenusa), (ca = cateto). Cuadrado interior cuyos lados están formados por las hipotenusas de los cuatro triángulos rectángulos. Además, los catetos de los cuatro triángulos rectángulos están formados por los dos sumandos. Y como se puede ver:
(a + b)² = c² = a² + b² + 2ab
(a + b)² = c² = a² + b² + 4(ab/2)
(a + b)² = c² = h² +
4(ab/2)
c² - 4(ab/2) = a² + b²
ca² + ca² = h² = a² + b²
Se puede proceder a duplicar los cuatro triángulos rectángulos y se forman ocho triángulos rectángulos iguales. O, lo que es lo mismo, cuatro cuadrados o rectángulos iguales entre sí, e iguales a los dos cuadrados o rectángulos originales que generaron los cuatro triángulos rectángulos. Cuando a¹b se forma el cuadrado de d², que representa al número que ha de ser igual al resultado de la resta (a - b)² = d². Y como se puede ver:
(a + b)² = c² = a² + b² + 2ab
(a + b)² = c² = a² + b² + 4(ab/2)
(a + b)² = c² = (a - b)² + 8(ab/2)
(a + b)² = c² = (a - b)² + 4ab
Ver la cuadratura del círculo. Ud. ya sabe que en dos dimensiones al cuadrado, en el cuadrado de c² que representa gráficamente el resultado de la suma (1+1)² se puede proceder a inscribir el círculo cuyo radio (radio=r) vale la unidad de referencia que se usa. Ambas figuras sólo tienen en común cuatro puntos de sus respectivos perímetros.
Ud. ya sabe que para formar el cuadrado interior de valor 1²+ñ² se puede proceder a "cortar" cada uno de esos cuatros puntos que tienen en común sus respectivos perímetros y "rectificar" a partir de ellos el perímetro del círculo. Para formar el área equivalente al área del círculo inscrito en el cuadrado de c² hay que trazar las hipotenusas que completan los cuatros triángulos rectángulos formados con los radios y los perímetros "rectificados". Se desarrolla la demostración de la fórmula, en donde, el sumando a=radio y el sumando b=1/4 del perímetro del círculo que ha sido totalmente "rectificado". El valor del sumando a=1. Se desconoce, por el momento, el valor del sumando b al que se le denomina con la letra española ñ.
(a + b)² = c² = a² + b² + 2ab
(a + b)² = c² = a² + b² + 4(ab/2)
(a + b)² = c² = h² +
4(ab/2)
c² - 4(ab/2) = a² + b²
ca² + ca² = h² = a² + b²
h² = a² + b² = 1² + ñ ² = Cuadrado interior de valor 1² + ñ²
O, se "corta" sólo uno de los cuatros puntos en común de ambos perímetros y se procede a "rectificar" el del círculo. Se forma el área equivalente al área del círculo inscrito en el cuadrado de c² con sólo trazar la hipotenusa que completa el triángulo rectángulo formado con el radio y el perímetro "rectificado".
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Área Círculo = Área Triángulo Rectángulo |
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Radio Círculo = Altura Triángulo |
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|||
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Perímetro Círculo = 2r * p = Base Triángulo |
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|||
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Área Círculo = r² * p |
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|||
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Área Triángulo = Base * Altura /2 |
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|||
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Radio |
Perímetro Círculo |
Área Círculo |
Área Triángulo |
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= |
2r * p = |
= |
= |
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Altura Triángulo |
Base Triángulo |
r² * p |
Base * Altura/2 |
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1 |
6,28 |
3,14 |
3,14 |
|
|
2 |
12,56 |
12,56 |
12,56 |
|
|
3 |
18,84 |
28,27 |
28,27 |
|
|
4 |
25,13 |
50,26 |
50,26 |
|
|
5 |
31,41 |
78,53 |
78,53 |
|
|
6 |
37,69 |
113,09 |
113,09 |
|
|
7 |
43,98 |
153,93 |
153,93 |
|
|
8 |
50,26 |
201,05 |
201,05 |
|
|
9 |
56,54 |
254,46 |
254,46 |
|
|
10 |
62,83 |
314,15 |
314,15 |
|
Calcular el valor de ñ. Ud. ya sabe que en el cuadrado de c² que representa gráficamente, en dos dimensiones al cuadrado, el resultado de la suma (a+b)², cuando a=b, se puede proceder a inscribir el círculo cuyo radio es igual, necesariamente, al valor de cualquiera de los dos sumandos (a=b=r).
El cuadrado de c², que representa al número resultante, (cuando a=b, c²= (a+b)²= a²+b²+2ab= 4a²= 4b²= 4r²) se puede transformar interiormente en otras figuras geométricas que se pueden distribuir de manera que (ver Áreas equivalentes) se forma un cuadrado interior cuya área equivale a la suma de los cuadrados de los dos sumandos y que, a su vez, está inscrito en el círculo.
a=b Þ c² = (a+b)² = a²+b²+2ab=
4a²= 4b²= 4r²
a=b Þ c² = (a+b)² = a²+b²+4(ab/2)
a=b Þ (a+b)² - 4(ab/2)=
a²+ b²= 2a²= 2b²= 2r²
O, se puede proceder a distribuir de manera que (ver Áreas equivalentes: continuación) se forman cuatro triángulos rectángulos que tienen por hipotenusa, cada uno, un lado del cuadrado de c². Se desarrolla la demostración de la fórmula, en donde, los dos catetos de cualquiera de los cuatro triángulos rectángulos pasan a ser los dos sumandos y los cuatro triángulos rectángulos equivalen a 2ab. Da como resultado que el cuadrado de c², que circunscribe al círculo, es otro cuadrado interior cuya área equivale a la suma de los cuadrados de los dos sumandos.
El círculo, el cuadrado interior que lo circunscribe y el cuadrado interior inscrito en él, tienen en el radio del primero un valor común a los tres. Por lo que se puede usar el radio como unidad de referencia para computar sus diferentes áreas. Además, el cuadrado interior que está inscrito en el círculo se puede alinear con el cuadrado interior que lo circunscribe de manera que sus lados queden paralelos y se superpongan sus diagonales en la totalidad del inscrito.
En dos dimensiones al cuadrado para formar el área equivalente al cuadrado interior 1²+ñ² (r=1) hay que formar el cuadrado interior de área media equivalente. Se obtiene como resultado de dividir entre dos la suma de las áreas del cuadrado interior que circunscribe al círculo y del cuadrado interior que está inscrito en él. Cuadrado interior de área media equivalente que se forma con las cuatro hipotenusas que hay que trazar para completar los cuatro triángulos rectángulos que se forman con un mismo cateto de cada uno de los cuatro triángulos rectángulos del cuadrado interior que circunscribe al círculo y el otro cateto de cada uno de los cuatro triángulos rectángulos del cuadrado interior inscrito en el círculo. Y como el área del cuadrado interior equivale a la suma de los cuadrados de los dos sumandos:
O, si se prefiere, el cuadrado interior de área media equivalente, en dos dimensiones al cuadrado, se obtiene como resultado de dividir entre dos la suma del área del cuadrado de c², que circunscribe al círculo, más el área del cuadrado interior, que está inscrito en el círculo. Cuadrado interior de área media equivalente = ((a+b)² + a²+b²)/2 = (a²+b²+2ab+a²+b²)/2 = a²+b²+ab = 3a²= 3b²= 3r².
…el cuadrado interior de valor 1²+ñ² (hay que leer “Ver la cuadratura del círculo: Calcular el valor de ñ”) equivale a la "rectificación" del cuadrado interior de área media equivalente del cuadrado de c² de valor 4 ((1+1)²). O, si se prefiere, equivale al 0,866… por unidad del mismo cuadrado de c².
1²+ñ² = c² * 0,866… = 4 * 0,866… = 3,464…
ñ² = 3,464… - 1² = 2,464…
ñ = Ö2,464… = 1,569...
2ñ = 3,139491...
Triángulo rectángulo superior e inferior. Ud. ya sabe que cuando a=b=r, c²= (a+b)²= a²+b²+ab+ab´= 4a²= 4b²= 4ab= 4r². El cuadrado de c² que representa gráficamente el resultado de la suma (a+b)² y que circunscribe al círculo esta formado por cuatro cuadrados iguales. Cuatro cuadrados iguales que, entre si, tienen en común cuatro lados que son cuatro radios del círculo inscrito en el cuadrado de c².
Cuatro lados en común a los que damos en llamar a, b, Öab y Öab´ respectivamente, por ser un lado, respectivamente, de los cuadrados a², b², ab y ab´ que forman el cuadrado de c².
Que con los cuatro lados en común se forman cuatro triángulos rectángulos iguales inscritos en el círculo que el cuadrado de c² circunscribe con solo trazar las respectivas hipotenusas
Los cuatro triángulos rectángulos iguales inscritos en el círculo se acoplan convenientemente, de dos en dos, y dan como resultado la formación de dos triángulos rectángulos iguales y que tienen la base en común. Base en común formada por los lados a los que hemos dado en llamar a y b y que forman, asimismo, una diagonal del círculo inscrito en el cuadrado de c². Y la altura de ambos triángulos rectángulos son los lados a los que hemos dado en llamar Öab y Öab´ respectivamente.
Para diferenciar a los dos triángulos rectángulos iguales formados damos en llamar triángulo rectángulo superior al que queda por encima de la base en común y triángulo rectángulo inferior al que queda por debajo.
La referencia es la base común. Ud. ya sabe que los lados a los que hemos dado en llamar a y b, y que forman la base común del triángulo rectángulo superior e inferior, son el sumando a y el sumando b de la suma (a+b)² tomando como referencia la base común de los triángulos rectángulos inscritos en el círculo.
Los lados a los que hemos dado en llamar Öab y Öab´ y que son las alturas respectivas del triángulo rectángulo superior y del triángulo rectángulo inferior descomponen ambos triángulo en los dos triángulos rectángulos originales que forman cada uno de ellos. Y, además, separan en la base común que sirve de referencia al sumando a y al sumando b de manera que el triángulo rectángulo izquierdo (que damos en llamarlo izquierdo -izdo- por estar situado en la izquierda de la base común que sirve de referencia) tiene como base al sumando a y el triángulo rectángulo derecho (que damos en llamarlo derecho -dcho- por estar situado en la derecha de la base común que sirve de referencia) tiene como base al sumando b.
Cuando a¹c¹b¹r, c²= (a+b)²= a²+b²+ab+ab´= 4r². El sumando a, el sumando b, la altura Öab y la altura Öab´ no son radio del círculo inscrito en el cuadrado de c². Y ab y ab´ son cada uno un rectángulo de área equivalente al área de un cuadrado de lado Öab y Öab´ respectivamente.
Altura = Öab. Ud. ya sabe que la hipotenusa (hipotenusa = h) del triángulo rectángulo superior es la base común que tiene con el triángulo rectángulo inferior y es, asimismo, una diagonal del círculo en el que esta inscrito. Hipotenusa que esta formada por el sumando a y por el sumando b de la suma (a+b)²= c², es decir, que la hipotenusa es igual a (a+b)= c. Y que la hipotenusa al cuadrado es igual a c²= a²+b²+ab+ab´.
Resumiendo: h² = ca² (izdo) + ca² (dcho)
(a²+b²+2ab)
= (a²+ab) + (b²+ab)
a
+ b = c |
a² + b² + ab + ab = c² |
r² = x² + y² |
|
|
|
0 + 10 = 10 |
0 + 100 + 0 + 0 = 100 | 25 = 25 + 0 |
1 + 9 = 10 |
1 + 81 + 9 + 9 = 100 | 25 = 16 + 9 |
2 + 8 = 10 |
4 + 64 + 16 + 16 = 100 | 25 = 9 + 16 |
3 + 7 = 10 |
9 + 49 + 21 + 21 = 100 | 25 = 4 + 21 |
4 + 6 = 10 |
16 + 36 + 24 + 24 = 100 | 25 = 1 + 24 |
5 + 5 = 10 |
25 + 25 + 25 + 25 = 100 | 25 = 0 + 25 |
6 + 4 = 10 |
36 + 16 + 24 + 24 = 100 | 25 = 1 + 24 |
7 + 3 = 10 |
49 + 9 + 21 + 21 = 100 | 25 = 4 + 21 |
8 + 2 = 10 |
64 + 4 + 16 + 16 = 100 | 25 = 9 + 16 |
9 + 1 = 10 |
81 + 1 + 9 + 9 = 100 | 25 = 16 + 9 |
10 + 0 = 10 |
100 + |